题目

关于构造二次函数证明不等式,柯西不等式
已知：ai>0 i=1,2,3...n.求证：(a1+a2+a3+...+an)(1/a1+1/a2+1/a3+...+1/an)≤n^2
要有具体的,每一步的过程,谢,

提问时间：2020-12-18

答案

应该是求证：［a(1)＋a(2)＋a(3)＋······＋a(n)］［1/a(1)＋1/a(2)＋1/a(3)＋······＋1a(n)］≧n^2.
［证明］
构造二次函数：y＝（√kx＋1/√k）^2＝kx^2＋2x＋1/k,其中k是正数.
显然有：kx^2＋2x＋1/k≧0.
依次令k＝a(1)、a(2)、a(3)、a(4)、······、a(n),得：
a(1)x^2＋2x＋1/a(1)≧0,
a(2)x^2＋2x＋1/a(2)≧0,
a(3)x^2＋2x＋1/a(3)≧0,
······
a(n)x^2＋2x＋1/a(n)≧0.
将以上n个不等式左右分别相加,得：
［a(1)＋a(2)＋a(3)＋······＋a(n)］x^2＋2nx＋［1/a(1)＋1/a(2)＋1/a(3)＋······＋1a(n)］≧0.
令f（x）＝［a(1)＋a(2)＋a(3)＋······＋a(n)］x^2＋2nx＋［1/a(1)＋1/a(2)＋1/a(3)＋······＋1a(n)］
∵k＞0,∴a(1)＋a(2)＋a(3)＋······＋a(n)＞0,
∴f（x）是一条开口向上的抛物线,
∴要满足f（x）≧0,就需要：
（2n）^2－4［a(1)＋a(2)＋a(3)＋······＋a(n)］［1/a(1)＋1/a(2)＋1/a(3)＋······＋1a(n)］≦0,
∴［a(1)＋a(2)＋a(3)＋······＋a(n)］［1/a(1)＋1/a(2)＋1/a(3)＋······＋1a(n)］≧n^2.
注：括号“( )”里的数字是下标.