题目

（1）分别求出适合下列条件的圆的方程：
①圆心是（3,—5）,且与直线x-7y+2=o相切;
②过点（1,0),圆心在x轴的正半轴上,被直线y=x-1所截得的弦长为2倍根号2.
（2）已知圆C:x^2+y^2-2x+4y+1=0
①求圆心C到直线2x-y+1=0的距离；
②求圆C上的点到直线2x-y+1=0的最短距离
（3）求经过A（4,-1）且与圆x^2+y^2+2x-6y+5=0相切与点B（1,2）的圆的方程.

提问时间：2020-12-18

答案

（1）分别求出适合下列条件的圆的方程：
①圆心是（3,—5）,且与直线x-7y+2=o相切;
圆心到直线的距离d等于半径r
d=|3+35+2|/根号[50]=4根号2
圆的方程(x-3)^2+(y+5)^2=32
②过点（1,0),圆心在x轴的正半轴上,被直线y=x-1所截得的弦长为2倍根号2.
设圆的方程为(x-a)^2+y^2=r^2 a>0
过点（1,0),(1-a)^2=r^2
圆心到直线y=x-1的距离d=|a-1|/根号2
d^2=(a-1)^2/2
(a-1)^2=2d^2
r^2=2d^2
弦长=2根号[r^2-d^2]
2倍根号2.=2根号[r^2-d^2]
根号2.=根号[r^2-d^2]
2=r^2-d^2=d^2
r^2=4
(a-1)^2=4
a=3或a=-1（舍去）
圆的方程为(x-3)^2+y^2=4
（2）已知圆C:x^2+y^2-2x+4y+1=0
①求圆心C到直线2x-y+1=0的距离；
圆心坐标(1,-2),半径r=2
圆心到直线的距离 d=|2+2+1|/根号5=根号5
②求圆C上的点到直线2x-y+1=0的最短距离
圆C上的点到直线2x-y+1=0的最短距离 是圆心到直线的距离减去半径,即d-r
根号5-2
(最大距离是圆心到直线的距离加上半径)
（3）求经过A（4,-1）且与圆x^2+y^2+2x-6y+5=0相切与点B（1,2）的圆的方程.
圆x^2+y^2+2x-6y+5=0的圆心是(-1,3),半径r=根号5
设圆的方程 (x-a)^2+(y-b)^2=r^2
经过A（4,-1） (4-a)^2+(-1-b)^2=r^2 1式
切与点B（1,2） (1-a)^2+(2-b)^2=r^2 2式
两圆外切时 (a+1)^2+(3-b)^2=(根号5+r)^2 3式
解得2式-1式,得a=b+2
代入2式和3式 得
2b^2-2b+5=r^2
2b^2+18=(根号5+r)^2
a=3,b=1,r=根号5
圆的方程(x-3)^2+(y-1)^2=5