题目

已知函数f（x）=2

3

sinxcosx+cos2x
（1）求f(

π

6

)的值；
（2）设x∈[0，

π

4

]，求函数f（x）的值域．

提问时间：2020-12-18

答案

（1）∵f(x)＝2

3

sinxcosx+cos2x=

3

sin2x+cos2x=2sin(2x+

π

6

)
故 f(

π

6

)=2sin(

2π

6

+

π

6

)=2sin

π

2

=2．
（2）因为0≤x≤

π

4

，所以

π

6

≤2x+

π

6

≤

2π

3

，所以1≤2sin(2x+

π

6

)≤2，
即函数f（x）的值域为[1，2]．

（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为 2sin（2x+

π

6

），从而求得f(

π

6

)的值．
（2）因为0≤x≤

π

4

，再根据正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）的值域．

本题考点：三角函数中的恒等变换应用；复合三角函数的单调性．

考点点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．