题目

用数学归纳法证明 n大于等于10时,2^n>n^3

提问时间：2020-12-18

答案

证明：（1)当n=10时,2^n=1024＞1000=n^3,∴结论对n=10成立
(2)假设结论对一切n大于等于10皆成立,即有2^n＞n^3,
则对n+1,左边为2^(n+1)=2*2^n=2^n+2^n,右边为（n+1）^3=n^3+3n^2+3n+1,左边减右边=（2^n+2^n）-（n^3+3n^2+3n+1）,由(2)知（2^n-n^3）＞0,故只须证（2^n-3n^2-3n-1）＞0对n＞10皆成立,即2^n＞3n^2+3n+1,又1＞3n^2+3n+1/2^n（这是因为n趋于无穷时不等式右边极限为零,且右边是关于n的单调递减数列,故n=10时,1＞3n^2+3n+1/2^n,所以n＞10时更加成立）这个不等式两边同乘以2^n即证得所要证的不等式.