题目

求通过直线2x+y+4=0及圆C：x^+y^+2x-4y+1=0的交点,并且有最小面积的方程!

提问时间：2020-12-18

答案

2x+y+4=0 (1)
x^+y^+2x-4y+1=0 (2)
由(1)得,y=-2x-4 (3)
将(3)代入(2),得5x^2+26x+33=0 (4)
解方程(4),得x=-11/5,或x=-3
根据(3),得 y=2/5,或y=2
故直线2x+y+4=0与圆x^+y^+2x-4y+1=0的交点为（-11/5,2/5）,（-3,2）
要使过这两点（-11/5,2/5）,（-3,2）的圆的面积最小,这两点之间的线段必须是该圆的直径,并且圆心是此线段的中点.
根据两点距离公式,得（-11/5,2/5）,（-3,2）两点之间的线段长：
d=√((-11/5+3)^2+(2/5-2)^2 )=(4√5)/5
所求圆的半径r=d/2=(2√5)/5
圆心的位置：x=(-11/5-3)/2=-13/5,y=(2/5+2)/2=6/5
所求圆的方程为：(x+13/5)^2+(y-6/5)^2=((2√5)/5)^2