题目
如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD=DC,F是PB的中点.
(1)求证:DF⊥AP;
(2)在线段AD上是否存在点G,使GF⊥平面PBC?若存在,说明点G的位置,并证明你的结论;若不存在,请说明理由.
(1)求证:DF⊥AP;
(2)在线段AD上是否存在点G,使GF⊥平面PBC?若存在,说明点G的位置,并证明你的结论;若不存在,请说明理由.
提问时间:2020-12-17
答案
证明:(1)取AB中点E,连接EF,DE
∵E,F分别是AB,PB的中点,
∴EF∥AP,
∴AP 和DF所成的角即为EF和DF所成的角,即∠DFE或其补角;
由已知四边形ABCD是正方形,
假设PD=DC=a,
则有DB=
a,PB=
a,DF=
aAE=
,DE=
a,PA=
a,EF=
a
∴cos∠DFE=
=0,
∴DF⊥EF,∴DF⊥AP.
(2) G是AD的中点时,GF⊥平面PCB.
证明如下:取PC中点H,连接DH,HF.
∵PD=DC,∴DH⊥PC.
又∵BC⊥平面PDC,∴DH⊥BC,
∵DH⊥PC,DH⊥BC,PC∩BC=C,PC,BC⊂平面PBC
∴DH⊥平面PCB.
∵HF∥BC,且HF=
BC,∴HF
GD,
∴四边形DGFH为平行四边形,DH∥GF,
∴GF⊥平面PCB.
∵E,F分别是AB,PB的中点,
∴EF∥AP,
∴AP 和DF所成的角即为EF和DF所成的角,即∠DFE或其补角;
由已知四边形ABCD是正方形,
假设PD=DC=a,
则有DB=
2 |
3 |
| ||
2 |
a |
2 |
| ||
2 |
2 |
| ||
2 |
∴cos∠DFE=
DF2+EF2-DE2 |
2DF•EF |
∴DF⊥EF,∴DF⊥AP.
(2) G是AD的中点时,GF⊥平面PCB.
证明如下:取PC中点H,连接DH,HF.
∵PD=DC,∴DH⊥PC.
又∵BC⊥平面PDC,∴DH⊥BC,
∵DH⊥PC,DH⊥BC,PC∩BC=C,PC,BC⊂平面PBC
∴DH⊥平面PCB.
∵HF∥BC,且HF=
1 |
2 |
∥ |
. |
∴四边形DGFH为平行四边形,DH∥GF,
∴GF⊥平面PCB.
(1)利用三角形的中位线定理平移作出异面直线所成的角,再利用余弦定理即可求出;
(2)利用平行四边形、线面垂直的判定定理和性质即可得出.
(2)利用平行四边形、线面垂直的判定定理和性质即可得出.
直线与平面垂直的性质;直线与平面垂直的判定.
熟练掌握利用三角形的中位线定理及余弦定理求异面直线所成的角、线面垂直的判定定理和性质定理是解题的关键.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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