题目

已知a，b，c分别是△ABC中角A，B，C的对边，且sin²A+sin²C-sin²B=sinAsinC．
 （1）求角B的大小；
 （2）若c=3a，求tanA的值．

提问时间：2020-12-17

答案

（1）∵sin²A+sin²C-sin²B=sinAsinC，
∴根据正弦定理，得a²+c²-b²=ac
因此，cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

1

2

∵B∈（0，π），∴B=

π

3

，即角B的大小为

π

3

；
（2）∵c=3a，∴根据正弦定理，得sinC=3sinA
∵B=

π

3

，
∴sinC=sin（A+B）=sin（A+

π

3

）=3sinA
可得

1

2

sinA+

3

2

cosA=3sinA，得

3

2

cosA=

5

2

sinA
两边都除以cosA，得

3

2

=

5

2

tanA，所以tanA=

3

5

．

（1）根据正弦定理，将已知等式化简得a²+c²-b²=ac，结合余弦定理算出cosB=

1

2

，从而可得角B的大小为

π

3

；
（2）由c=3a结合正弦定理，得sinC=3sinA，而sinC=sin（A+B），将B=

π

3

代入展开并化简得

3

2

cosA=

5

2

sinA，最后根据同角三角函数的商数关系，可算出tanA的值．

本题考点：正弦定理的应用；三角函数中的恒等变换应用．

考点点评：本题给出三角形的三个角的正弦的关系式，求角B的大小并在c=3a的情况下求tanA的值．着重考查了利用正余弦定理解三角形、两角和的正弦公式和同角三角函数的基本关系等知识，属于中档题．