题目

已知n>1,a>1,且an-1是质数,求a的值,并说明n也是质数的解答过程

提问时间：2020-12-17

答案

∵质数的公因数是1和它本身
∴①当n=2,a^n-1=a^2-1=(a-1)(a+1),只要有一个是1,
则a^2-1为质数,又∵a＞0,所以明显a+1≠1,所以a-1=1,a=2
②当n=3时,a^n-1=a^3-1=(a-1)(a^2+a+1),同理,∵a＞0
∴后面那个因式≠1 即a=2
③当n=4时 a^n-1=a^4-1=(a-1)(a+1)(a^2+1),显然是一个合数,
∵有三个因数,所以无法求a
④当n=5时 a^n-1=a^5-1=(a-1)(a^4+a^3+a^2+a+1),同②,
a-1=1,a=2
⑤当n=6时 a^n-1=a^6-1=（a-1)(a^2+a+1)(a^3+1),同③,④
∴无法求a
⑥当n=7时 a^n-1=a^7-1=(a-1)(a^6+a^5+a^4+a^3+a^2+a+1),
同②,③,⑤,a-1=1,a=2
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综上所述,可以发现一个规律,就是a（a＞1）的次数
n（n＞1）若为一个合数,则n可以表示成n=xy（x,y不为1）
则a^n可以表示成为a^xy即(a^x)^y,则a^x肯定在上述规律中
有所表示,所以若n为合数,则a^n-1必定为合数.
另外还可以发现一个规律,就是a的定值恒为2,否则
a-1一定＞1,则a＞2,若a＞2,则原数则为合数,因为
质因数不是1和它本身了.
所以在这里得出结论：a（a大于1）=2,n为质数