题目

如图所示，在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，EF垂直CD于F，EG垂直AD于G，求证：BE=FG．

提问时间：2020-12-17

答案

证明：如图，连接DE，
在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAC=∠DAC，
∵在△ABE和△ADE中，

AB＝AD ∠BAC＝∠DAC AE＝AE

，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴BE=DE，
∵EF⊥CD于F，EG⊥AD于G，∠ADC=90°，
∴四边形EFDG是矩形，
∴DE=FG，
∴BE=FG．

连接DE，根据正方形的四条边都相等可得AB=AD，对角线平分一组对角可得∠BAC=∠DAC，然后利用“边角边”证明△ABE和△ADE全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DE，再证明四边形EFDG是矩形，根据矩形的对角线相等可得DE=FG，从而得证．

本题考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；矩形的判定与性质．

考点点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的对角相等的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，正方形的问题，往往都是通过作辅助线构造出全等三角形求解，要熟练掌握并灵活运用．