题目

高一函数题,在线等.
已知二次函数,f(x)=ax^2+bx+c.
1.若a>b>c,且f(1)=0,试证明f(x)必有两个零点.
2.若对x1,x2∈R且x1

提问时间：2020-12-17

答案

1.反证法,因为f(1)=0,则f(x)至少有1个零点,如果只有一个零点,则f(x)=a(x-1)^2,则b=-2a,c=a,即a>-2a>a,错误.则证明f(x)必有两个零点
2.f(x)=1/2[f(x1)+f(x2)]有两个不等实根,则函数g(x)=f(x)-1/2[f(x1)+f(x2)]与x轴有两个交点.
而g(x1)=f(x1)-1/2[f(x1)+f(x2)]=1/2[f(x1)-f(x2)],g(x2)=f(x2)-1/2[f(x1)+f(x2)]=1/2[f(x2)-f(x1)]
g(x1)=-g(x2),而因为f(x1)不等于f(x2),所以g(x1)不等于0
则g(x1)和g(x2)分布于x轴两侧,则函数g(x)必交x轴于(x1,x2),即方程f(x)=1/2[f(x1)+f(x2)]必有一实根属于(x1,x2)