题目

圆O方程为x^2+y^2=1,与x轴交于P,Q两点,M是圆O上异于PQ任意一点,直线l:x=3,直线PM与l交于A点,直线QM与l交于B点,以AB为直径的圆C是否经过定点?
还没学三角函数

提问时间：2020-12-17

答案

因为还不能上传图片,所以简单说下示意图的画法.
首先画出示意图,圆O以及直线PA、QB、AB,而后标出图中P（-1,0）,Q(1,0),M、A两点位于第一象限,B点位于第四象限.
问以AB为直径的圆C是否经过定点?很明显的可以知道,圆C必不于坐标轴Y轴相交,必于坐标轴X轴相交.故需写出圆C的方程式,再令其Y=0,则可求出定点的X坐标,即定点坐标（X,0）.
如示意图所示,知P（-1,0）,Q（1,0）,同时可设A（3,y1）,B（3,y2）
由P、A两点可得直线PA：4y-y1*x-y1=0 （1）
由Q、B两点可得直线QB：2y-y2*x+y2=0 （2） （两点求直线方程应该学过吧）
（1）、（2）式联解,得：x=（2y2+y1）/（2y2-y1）,y=y1*y2/（2y2-y1）即为点M的坐标.
将点M的坐标带入圆O方程x²+y²=1,可求得：y1*y2=-8.（3）
圆C直径由A、B两点知,得：D=y1-y2,半径R=（y1-y2）/2
圆心坐标为（3,y1-（y1-y2）/2）=（3,（y1+y2）/2）
故得出圆C方程：（x-3）²+（y-（y1+y2）/2）²=（（y1-y2）/2）²
化简并取y=0,得：x²-6x+9+y1*y2=0
将（3）式代入,得：x²-6x+1=0
解得：x=3±2√2
即得出以AB为直径的圆C经过定点（3±2√2,0）.
（注：y1、y2等中1、2等数字为下标.）