题目

设数列{a_n}的首项a₁=1且前n项和为S_n．已知向量

a

＝(1，an)，

b

＝(an+1，

1

2

)满足

a

⊥

b

，则

lim

n→∞

Sn=______．

提问时间：2020-12-17

答案

由题意，∵

a

⊥

b

，∴

a

•

b

＝ 0，∴an+1＝−

1

2

an
即数列{a_n}是以首项a₁=1，公比为−

1

2

的等比数列，
∴

lim

n→∞

Sn＝

1

1+ 1 2

＝

2

3

故答案为

2

3

利用向量的垂直关系，可知其数量积为0，进而可得出数列{a_n}是以首项a₁=1，公比为−

1

2

的等比数列，由于公比的绝对值小于1，故易求．

本题考点：数列的极限；数量积判断两个平面向量的垂直关系．

考点点评：本题的考点是数列的极限，主要考查无穷等比数列的求和问题，关键是利用向量的垂直关系得出数列是无穷等比数列，进而再求和．