题目

已知抛物线C1:y^2=4x圆C2:(x-1)^2+y^2=1,过抛物线焦点的直线l交C1于A,D两点,交C2于B.C两点
1.|AB|*|CD|的值
2.是否存在直线l,使得k(OA)+k(OB)+k(OC)+k(OD)=3√2,且|AB|,|BC|,|CD|依次成等差数列,若存在,求出所有满足条件的直线l,若不存在,请说明理由.

提问时间：2020-12-17

答案

1.C1的准线为y=-1,焦点为（1,0）,由作图可知AB、CD的长度分别为A、D的横坐标值,设过煎焦点的直线方程为y=k(x-1),代入C1求解的A、D的横坐标分别为[k^2+2-2*（k^2+1）的平方根]/k^2和[k^2+2+2*（k^2+1）的平方根]/k^2,将两个值相乘,结果为1.即积与k无关.
2.AB、BC、CD长度程等差数列,则AB+CD=2*BC=4,有上题可得k=2或k=-2,由第一题中可以求出所有点的坐标,对应的斜率为y坐标除以x坐标,得到的结果,代入两个可能的k值,不满足斜率和条件