题目

已知f1(x)=x+1,且fn=f1[f(n-1)(x)](n>1,n属于正实数)
(1)求f2(x),f3(x)的表达式,猜想fn(x)(n属于正实数)的表达式并且用数学归纳法证明
(2)若关于x的函数y=x^2+f1(x)+f2(x)+...+fn(x)(n属于正实数)在区间(-∞,-1]上的最小值为12,求n的值

提问时间：2020-12-17

答案

（1）
f2=f1[f(2-1)(x)]=f1[f1(x)]=f1[x+1]=x+2
f3=f1[f(3-1)(x)]=f1[f2(x)]=f1[x+2]=x+3
猜想
fn=x+n
证明：设 对于k成立 则fk=x+k
f(k+1)=f1[f(k+1-1)x]=f1[x+k]=x+k+1
得证
（2）
y=x*x+x+1+x+2+...x+n
y=x*x+nx+n(n-1)/2 -------------a
若y有最小值 则y得导数为零
y'=2x+n=0
因为n>0
所以 n=-2x 代入a式y=x*x-2x*x-2x(-1-2x)/2=12
解得：x=3或-4
因为x<-1
所以x=-4 n=8