题目

已知椭圆C:x的平方/a的平方+y的平方/b的平方=1(a>b>0)的离心率为1/2,左右焦点分别分别为F1,F2,
点G在椭圆上 且向量GF1×GF2=0,△GF1F2的面积为3
1·求椭圆C的方程
2：设椭圆的左右顶点为A,B,过点F2的直线l与椭圆交与不同的两点M,N(不同于点A,B）.探索,直线AM,BN的交点能否在一条垂直于x轴的定直线上.若能请求出这条定直线.若不能请说明理由.

提问时间：2020-12-17

答案

第一问我就简单写写,主要写第二问了.
1.GF1*GF2 = 2*3=6 ; GF1^2+GF2^2 = F1F2^2 ; 4a^2-2*6 = 4c^2
所以 a=2,c=1,b=√3 方程 x^2/4+y^2/3=1
2.此问之关键就在于设而不求,冷静应对.不要被迷惑.看我的
设直线MN:x-1 = my ; 直线AM:x+2 = m1y ; 直线BN：x-2 = m2y
点 M(x1,y1) ;N(x2,y2)
& 尽可能挖掘已知条件:
求MA,NB交点K
联立 x+2 = m1y ; x-2=m2y ；易知 y = 4/(m1-m2) ; x = 2(m1+m2)/(m1-m2) = 2+4m2/(m1-m2).1#
化简提问"直线AM,BN的交点能否在一条垂直于x轴的定直线上.若能请求出这条定直线.若不能请说明理由." 这 等价于证明 x = 2+4m2/(m1-m2)是否是定值
M为MN与AM交点,N为NB与MN交点
x1+2 = m1y1 ; x1 - 1 = my1; 所以 m1=m+3/y1
x2-2 = m2y2; x2 -1 =my2; 所以 m2 = m-1/y2 代入1#
x = 2+4 * [m-1/y2]/[3/y1+1/y2] = 2 + 4* [ my1y2-y1]/[3(y1+y2)-2y1].2#
直线MN:my = x-1 代入 椭圆 3x^2+4y^2-12=0
可知 (3m^2+4)y^2+6my-9=0
于是 my1y2-y1 = -9m/(3m^2+4)- y1
3(y1+y2)-y1 = -18m/(3m^2+4)-2y2
显然 (my1y2-y1)/(3(y1+y2)-y1 ) = 1/2
所以 2# = 2+4*(1/2) = 4
也就是说 x=4 为定值,所以直线存在,就是x=4