题目

变上限积分的求导公式
问：若F(x)=∫(上限x,下限a)xf(t)dt,则F'(x)=?
有个答案是这样的：
x不是积分变量,提出
F(x)=x∫(上限x,下限a)f(t)dt
则F'(x)=(上限x,下限a)f(t)dt+xf(x)
我看不懂的是：最后的答案中,怎么没有再减一个af(a),因为积分那里有上下限啊,那求导的时候,不是也一样要上限的导数减下限的导数吗?

提问时间：2020-12-16

答案

F(x) = ∫(a,x) xf(t) dt
F(x) = x∫(a,x) f(t) dt
F'(x) = ∫(a,x) f(t) dt + x * [x' * f(x) - a' * f(a)]
= (1/x)F(x) + x * [1 * f(x) - 0 * f(a)],下限a的导数不就是0咯,所以整体都会变为0
= (1/x)F(x) + xf(x)