题目

已知平面直角坐标系中存在四边形ABCD,A(-1,2),B(m,0),C(m+2,0),D(3,5),使四边形ABCD周长最小,则m=_.

提问时间：2020-12-16

答案

因为|AD|+|BC|的长度已经确定,故只要|AB|+|CD|最小就行了.
|AB|+|CD|=√[(m-1)^2+2^2]+√{[(m+2)-3]^2+5^2}=√[(m+1)^2+4]+√[(m-1)^2+25]
上式的值可以看成点(m,0)分别到点(-1,2)和(1,5)的距离之和,画图便知距离和最小的点,即是过点(-1,2)关于x轴对称的点(-1,-2)和点(1,5)所在直线相交于x的点.
易知过点(-1,-2)和点(1,5)的直线方程为y=7x/2+3/2.此线与x轴交点为(-3/7,0).
所以,m=-3/7