题目

复数欧拉公式大多人们都用所谓级数来证明,可是exp ix 这个东西的指数是复数啊,泰勒级数是在严格的实数理论上建立起来的,直接应用于复数,似乎有点勉强,请数学系牛人作答,本人只自学过数分,没学过复变函数论.

提问时间：2020-12-16

答案

首先,在实数上我们良好地定义了exp(x),关键就是怎么把这个东西拓展到复数域中.在这里,我们用一个叫解析开拓的常用方法.
在实数域上,我们显然有：
exp(x)=1+x+x^2/2!+...+x^n/n!+...=sigma((x^n)/n!,n=0..infinity)
然后,我们在复数域上也令这个关系成立.这就得出了复数域上的指数函数.
为什么这样定义的指数函数在复数域上每一点都有定义呢?很简单,因为上面的级数对于任意x都是绝对收敛的.绝对收敛这个概念不仅仅适用于实数,还可以用于复数,甚至拓展到一般的赋范线性空间.
这里没怎么用到复分析,就是解析开拓这个名词是在复分析里边学的.