题目

E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的各边AB、BC、CD、DA的中点，若对角线BD=2，AC=4，则EG²+HF²的值为______．

提问时间：2020-12-16

答案

依次连接EF、FG、GH、HE
∵E是AB中点，H是AD中点，∴EH∥BD，且EH=BD=1，
同理：FG∥BD，FG=BD=1，∴EH∥FG，EH=FG，
同理，EF∥HG，EF=HG，
∴四边形EFGH为边长为1、2的平行四边形，
设∠EHG=θ，那么∠HEF=180°-θ，
在△EHG中，由余弦定理有：
EG²=EH²+HG²-2×EH×HG×cosθ=1+4-4cosθ=5-4cosθ，
在△EFH中，由余弦定理有：
FH²=EF²+EH²-2×EF×EH×cos（180°-θ）=4+1-4cos（180°-θ）=5+4cosθ，
上述两式相加，得到：
EG²+FH²=5-4cosθ+5+4cosθ=10．
故答案为：10．