题目

平面内的1条直线可以把平面分成2部分,2条直线最多可以把平面分成4部分,
那10条呢?

提问时间：2020-12-16

答案

设平面内n(n为正整数)条直线最多可以把平面分成 an 个部分,
则a1=2,a2=4.
设 n 条直线把平面分成了 an 个部分,则增加一条直线时,这条直线与前面n条直线最多有n个交点,这n个交点把这条直线分成了 n+1 段,每段都把它所在的部分分为两个部分,
也就是说,平面由 an 个部分增加到 an+(n+1)个部分,
即 a(n+1)=an+(n+1).(n=1,2,3,.）
由上式可得
a1=2
a2=a1+2
a3=a2+3
.
an=a(n-1)+n
将以上等式两边分别相加,得
an=2+2+3+4+...+n=1+n(n+1)/2=(n^2+n+2)/2.
当n=10时,10条直线最多将平面分成 (100+10+2)/2=56个部分.