题目

i^i 虚数单位i的i次幂是多少

提问时间：2020-12-16

答案

首先要说的是,当指数不为整数时,幂的取值可能是不唯一的.
例如1/2次方即平方根就有两个,只是当底数为正实数时可考虑算术平方根,即其中的正根.
但是当底数是负实数甚至是虚数时,两个根在地位上是平等的,没有合理的办法只选其中之一.
i^i的情况类似,实际上有无穷多个取值.
计算使用Euler公式:exp(ix) = cos(x)+isin(x).
需要说明的是这里的exp(x)不同于e^x次幂,而是用一个幂级数定义的解析函数.
exp(x)是单值的而e^x是多值的,当x是实数时exp(x)与e^x的正实数取值相同.
定义ln(x)是exp(x)的反函数,这是一个多值函数.
然后乘方的完整定义为a^b = exp(b·ln(a)).
由Euler公式,有exp(i(2kπ+π/2)) = i,其中k可取任意整数.
于是ln(i) = {i(2k+1/2)π | k ∈ Z}.
故i^i = exp(i·ln(i)) = {exp(-(2k+1/2)π) | k ∈ Z}.
之所以要这样定义a^b,是为了使(a^b)^c = a^(bc)对复数也能成立.
如果忽略的a^b的多值性会产生悖论.