题目

试求出所有的有序整数对(a,b),使得关于x的方程x^4+(2b-a^2)x^2-2ax+b^2-1=0的各个根均是整数.

提问时间：2020-12-16

答案

原方程可以变型为：( x^2 - b )^2 - ( ax + 1 )^2 = 0
拆分以后得：x^2 - ax - b - 1 = 0 或 x^2 + ax - b + 1 = 0
四个根必须都是整数说明上面两个二次方程同时有整数解.
两式相加得：x^2 = b (1)
两式相减得：ax = -1 (2)
(1) / (2)^2得：a^2*b = 1
因为要求ab也都是整数,所以只有(1,1),(-1,1)两组解.
代入后两组根分别是：2、-1、-1、0和-2、1、1、0.