题目

有一个焦点在x轴上的椭圆,其离心率为e=√3/2,椭圆的上方有一点P(0,3/2),椭圆上有一点Q,已知PQ距离的最大值为√7,求这个椭圆的标准方程?（注：Q点不一定就是椭圆的最低点）

提问时间：2020-12-16

答案

设椭圆方程为：x²/a²+y²/b²=1 (a>b>0,因）
e=√3/2,即：c/a=√3/2,(a²-b²)/a²=3/4,a²=4b²
第一种情况：P(0,3/2)在椭圆上
又由于椭圆中心在原点,且焦点在X轴上,点P（0,3/2)在椭圆上
所以b=3/2,b²=9/4,a²=9
椭圆方程为：x²/9 + y²/（9/4)=1
第二种情况：P（0,3/2)不在椭圆上（注：解出的b应该小于3/2）
x²/a²+y²/b²=1 ,即x²/4b²+y²/b²=1,x²+4y²=4b²,x²=4b²-4y²
设椭圆上距离P的最远点的坐标是（x,y),则有：
（x-0)²+(y-3/2)²,把x²=4b²-4y²代入,整理可得：
4b²-3（y²+y)+ (9/4),4b²是定值,-3（y²+y)是开口向下的二次函数,
显然最大值在y=-1/2处取得,为7,y=-1/2时,4b²-3（y²+y)+ (9/4)=7
解得：b²=1(符合b