题目

已知函数f(x)=x-a√x+lnx(a为常数)（1）当a=5时,求f(x)的极值（2）若f(x)=在定义域上是增函数,则实数a范

提问时间：2020-12-16

答案

（1）当a=5时,f(x)=x-5√x+lnx(x＞0)
所以f′(x)=1-5/(2√x)+1/x=(2x-5√x+2)/(2x)
令f′(x)=0得x=4或x=1/4
f′(x)＞0得0＜x＜1/4或x＞4
同理f′(x)＜0得1/4＜x＜4
所以x=1/4是极大值点,x=4是极小值点
所以f(x)的极大值是f(1/4)=-9/4-ln4
f(x)的极大值是f(4)=ln4-6
（2）f(x)=x-a√x+lnx
所以f′(x)=1-a/(2√x)+1/x=(2x-a√x+2)/(2x)
因为f(x)在定义域上是增函数
所以f′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立
即2x-a√x+2≥0在(0,+∞)上恒成立
所以a≤(2x+2)/√x在(0,+∞)上恒成立
所以a≤4