题目

2013上海黄浦初三数学一模卷第24题
已知二次函数y=ax^2+bx+3的图像与x轴交于点A(1,0)与B(3,0) 交y轴于点C,其图像的顶点为D.
（1）求此二次函数的解析式.
（2）试问三角形ABD与三角形BCO是否相似?并证明你的结论.
（3）若点P是此二次函数图像上的点,且角PAB=角ACB,试求点P的坐标.

提问时间：2020-12-16

答案

（1）将A、B坐标代入函数解析式,得
a+b+3=0
9a+3b+3=0
解得,a=1,b=-4
所以,二次函数的解析式为y＝x²-4x+3
（2）因为,y＝(x-2)²-1
所以,D点坐标为(2,-1)
Rt△BOC中,OB＝3,OC＝3,BC＝3√2
所以,△BOC为等腰直角三角形
△ABD中,AD＝√2,BD＝√2,AB＝2
因为,AD²+BD²=AB²,且AD＝BD
所以,△ABD也为等腰直角三角形
所以,△ABD∽△BCO
（3）由（2）知,∠OBC＝∠ABD＝45°
所以,∠CBD＝∠OBC＋∠ABD＝90°
延长CA和BD,交于点E
由A点坐标（1,0）和C点坐标（0,3）
可得,AC所在直线方程为y＝-3x+3
由B点坐标（3,0）和D点坐标（2,-1）
可得,BD所在直线方程为y＝x-3
联立两个直线方程,得到E点坐标为（3/2,-3/2）
Rt△CBE中,BC＝3√2,BE＝3√2/2
所以,tan∠ACB＝tan∠ECB＝BE/BC＝1/2
设P点坐标为（x,y）,过P做x轴的垂线,交x轴于点F
则,点F坐标为（x,0）
Rt△PFA中,PF＝|y|,AF＝x-1
所以,tan∠PAB＝tan∠PAF＝PF/AF＝|y|/(x-1)
因为,∠PAB=∠ACB
即,tan∠PAB=tan∠ACB
所以,|y|/(x-1)=1/2,即,2|y|＝x-1
又,点P是此二次函数图像上的点,y＝x²-4x+3
所以,2|x²-4x+3|＝x-1
化简得,2x²-9x+7＝0或2x²-7x+5＝0
即,(2x-7)(x-1)＝0或(2x-5)(x-1)＝0
因为,P点与A点不重合,x≠1
所以,解得x＝7/2或x＝5/2
对应的,y＝5/4或y＝-3/4
所以,点P的坐标为（7/2,5/4）或（5/2,-3/4）