题目

关于Rolle定理的证明题
不管b取何值,方程x^3-3x+b=0 在区间[-1,1]上至多有一个实根.
证明如下：
设有 x1

提问时间：2020-12-15

答案

问题1-->这句话什么意思?有没有根 和 f'(x)=3(x+1)(x-1) 有什么关系?
这里应用Rolle定理,是设函数为 f(x) = x^3-3x+b
f '(x) = 3(x+1)(x-1)
显然 f(x)满足Rolle定理的条件,
则结论应该是至少存在一点 ξ 属于 (x1,x2) 属于 (-1,1)
使 f'(ξ)=0 即 3(ξ+1)(ξ-1)=0
然而,上式的解为：ξ = -1 和 ξ = 1,这两个解并不属于 (-1,1) ,所以矛盾
问题2-->接下部分如何证明.
接下来不需要证明了,既然矛盾,说明开始的假设（假设有两个根x1、x2）错误
方程x^3-3x+b=0 在区间[-1,1]上至多有一个实根