题目

△ABC面积为S,向量AB·BC=1,若S=3/4|AB|求|AC|的最小值

提问时间：2020-12-15

答案

△ABC面积为S,向量AB•BC=1,若S=3/4|AB|求|AC|的最小值
【解】
s=(1/2)|AB|*|BC|sinB=（3/4）|AB|,
∴|BC|sinB=3/2,
∴1=AB*BC=-|AB|*|BC|cosB
将|BC|=3/(2 sinB)代入得
1=(-3/2)|AB|cosB/ sinB,
|AB|=(-2/3)tanB,由此可知∠B为钝角.
由余弦定理,AC^2=|BC|^2+|AB|^2-2|AB||BC| cosB
=9/(2sinB)^2+(4/9)(tanB)^2-2*3/(2sinB)*(-2/3)tanB*cosB
=(9/4)/(sinB)^2+(4/9)(tanB)^2+2.
【∵1/(sinB)^2=[(sinB)^2+(cosB)^2]/(sinB)^2
=(sinB)^2/(sinB)^2+(cosB)^2/(sinB)^2
=1+1/(tanB)^2,代入上式】
上式=(9/4)*[ 1+1/(tanB)^2] +(4/9)(tanB)^2+2
=(9/4)/(tanB)^2+(4/9)(tanB)^2+2+9/4……利用基本不等式
≥2√[(9/4)/(tanB)^2*(4/9)(tanB)^2] +2+9/4
=2+2+9/4=25/4.
∴|AC|≥5/2.
当(9/4)/(tanB)^2=(4/9)(tanB)^2时取到等号.
此时tanB=-3/2.