题目

点p是抛物线C1：x^2=2py上的动点,过点p作圆c2:x^2+(Y-3)=1的两条切线交y轴于A,B两点,已知定点Q(1,13/4)到抛物线C1的准线的距离是7/2.
(1)证明直线PA与PB不垂直（2）若线段AB被直线PQ平分,求点p的坐标

提问时间：2020-12-15

答案

(1)Q(1,13/4)到抛物线C1的准线:y=-p/2的距离是13/4+p/2=7/2,p=1/2,
设抛物线C1：x^2=y上的动点P(t,t^2),
过P作圆C2：x^2+(y-3)^2=1(改题了)的切线：y-t^2=k(x-t),即kx-y+t^2-kt=0,
圆心C2(0,3)到切线的距离=|-3+t^2-kt|/√(k^2+1)=1,
平方得(-3+t^2-kt)^2=k^2+1,
整理得(t^2-1)k^2-2t(t^2-3)k+(t^2-3)^2-1=0,①
若两切线的斜率之积k1k2=[(t^2-3)^2-1]/(t^2-1)=-1,
则(t^2-3)^2-1=1-t^2,
整理得t^4-5t^2+7=0,无实数解,
∴直线PA与PB不垂直.
（2）切线交y轴于A(0,t^2-k1t),B(0,t^2-k2t),
由①,k1+k2=2t(t^2-3)/(t^2-1),
∴AB的中点M:xM=0,yM=t^2-t(k1+k2)/2=t^2-t^2(t^2-3)/(t^2-1)=2t^2/(t^2-1),
由线段AB被直线PQ平分得P,M,Q共线,
PQ,MQ的斜率相等,即(t^2-13/4)/(t-1)=13/4-2t^2/(t^2-1),
两边都乘以4(t^2-1),得(4t^2-13)(t+1)=13(t^2-1)-8t^2,
4t^3+4t^2-13t-13
-5t^2 +13=0,
4t^3-t^2-13t=0,解得t1=0,t2,3=(1土√209)/8,
∴点P的坐标是(0,0),((1+√209)/8,(105+√209)/32),((1-√209)/8,(105-√209)/32).