题目

复变函数可以求偏导吗?
有一个问题困扰我 欧拉公式EXP（iX）＝cosX＋isinX 为什么两边同时对X求偏导之后两边不等了?我实在搞不明白希望那位大侠能够指导一下啊

提问时间：2020-12-15

答案

没有对复变函数定义过偏导数,因为没意义.
对于复变函数只有能不能解析的问题.
欧拉公式EXP（iX）＝cosX＋isinX实际上是变量X的复值函数,也就是所EXP（iX）是一元实变复值函数.
在专门的复变函数课本上,有推广的欧拉公式：
EXP（iZ）＝cosZ＋isinZ ,这里Z是复平面上任意一点.
函数EXP（iZ）是解析函数,可以对变量Z求导数（就像实变函数一样求导）.
在复变函数理论中
d（sinZ）/dZ＝－cosZ ,d（cosZ）/dZ＝sinZ
而d（EXP（iZ））/dZ ＝i*EXP（iZ）=sinZ－icosZ
所以d（cosZ＋isinZ）/dZ＝sinZ－icosZ
所以d（EXP（iZ））/dZ =d（cosZ＋isinZ）/dZ是成立的.
EXP（iX）＝cosX＋isinX若看成 EXP（iZ）＝cosZ＋isinZ
在Z=X+i·0=X 即点（X,0）处的值
则
[d（EXP（iZ））/dZ ] |z=x ＝ [d（cosZ＋isinZ）/dZ] |z=x
就是i·EXP（iX）＝sinX－icosX