题目

X,Y是相互正交的n维列向量,证明E加上（X乘上Y的转置）可逆.设A=XYT 则A的平方等于（XYT）（XYT）
接上面 等于X(YTX)YT等于0,于是A的特征值全部都是0 为什么就都是0了捏!

提问时间：2020-12-14

答案

∵X和Y正交
∴(Y^T)X=0 .注：这个0是数字不是矩阵,∵Y^T是1行n列,X是n行1列,相乘是1行1列
∴A²=[X(Y^T)][X(Y^T)]=X[(Y^T)X]Y^T=0X(Y^T)=0 .注：这个0是n阶矩阵
也就是说A²是n阶0矩阵,它的秩为0,特征值也都为0
如果你不理解为什么秩为0特征值就全0,那么用|A²-λE|=(-λ)^n=0,∴λ=0(n重根)
那么A的特征值也全0,E-A的特征值全1,|E-A|=1,故可逆