题目

试证明在n维欧式空间v中,两两成钝角的非零向量不多于n+1个

提问时间：2020-12-14

答案

用反证法吧.
假设a1…an+2(下标,后同）两两互为钝角
n维空间任意n+1个向量线性相关,即存在不全为0的数k1….kn+1
使得k1a1+…+kn+1an+1=0
两边跟an+2内积,k1＜a1,an+2＞+…..+ kn+1＜a1,an+2＞=0
其中＜a1,an+2＞...＜a1,an+2＞全小于0,所以存在ki…大于0,kj…小于0.
负的移到另一边,kiai+…=-kjaj-…=v (0项可以去掉)
＜v,v＞=＜kiai+…, -kjaj-…＞=-kikj＜ai,aj＞…＜0,矛盾.