题目

常数函数,反比例函数,正比例函数,一次函数,二次函数,对号函数,兄弟函数,类反比例函数,绝对值函数,指数函数,对数函数,幂函数等函数的定义域,图像,值域,单调区间,奇偶性是什么?

提问时间：2020-12-14

答案

1.常数函数

定义域：R

图像：平行x轴且到x轴的距离是该常数的一条直线

值域：{该常数的值}

单调区间：（-∞,+∞)不增也不减

奇偶性：偶函数,关于y轴对称；

2.反比例函数

定义域：x≠0的一切实数

图像：

值域：y≠0的一切实数

单调区间：

奇偶性：奇函数,图像关于原点中心对称

3.正比例函数

定义域：R

值域：R

图像：

单调区间：

奇偶性：奇函数,图像关于原点中心对称

4.一次函数

定义域：R

图像：

值域：R

单调区间：k>0时,递增,

k<0时,递减.

奇偶性：无

5.二次函数

二次函数
I.定义与定义表达式
一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系：
y=ax^2+bx+c（a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.）
则称y为x的二次函数.
二次函数表达式的右边通常为二次三项式.
II.二次函数的三种表达式
一般式：y=ax^2;+bx+c（a,b,c为常数,a≠0）
顶点式：y=a(x-h)^2;+k [抛物线的顶点P（h,k）]
交点式：y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1,0）和 B（x2,0）的抛物线]
注：在3种形式的互相转化中,有如下关系:
h=-b/2a k=(4ac-b^2;)/4a x1,x2=(-b±√b^2;-4ac)/2a
III.二次函数的图像
在平面直角坐标系中作出二次函数y=x&#178;的图像,
可以看出,二次函数的图像是一条抛物线.
IV.抛物线的性质
1.抛物线是轴对称图形.对称轴为直线
x = -b/2a.
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P.
特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）
2.抛物线有一个顶点P,坐标为
P [ -b/2a ,(4ac-b^2;)/4a ].
当-b/2a=0时,P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时,P在x轴上.
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小.
当a＞0时,抛物线向上开口；当a＜0时,抛物线向下开口.
|a|越大,则抛物线的开口越小.
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置.
当a与b同号时（即ab＞0）,对称轴在y轴左；
当a与b异号时（即ab＜0）,对称轴在y轴右.
5.常数项c决定抛物线与y轴交点.
抛物线与y轴交于（0,c）
6.抛物线与x轴交点个数
Δ= b^2-4ac＞0时,抛物线与x轴有2个交点.
Δ= b^2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点.
Δ= b^2-4ac＜0时,抛物线与x轴没有交点.
V.二次函数与一元二次方程
特别地,二次函数（以下称函数）y=ax^2;+bx+c,
当y=0时,二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程）,
即ax^2;+bx+c=0
此时,函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根.
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根.

答案补充
画抛物线y＝ax2时,应先列表,再描点,最后连线.列表选取自变量x值时常以0为中心,选取便于计算、描点的整数值,描点连线时一定要用光滑曲线连接,并注意变化趋势.
二次函数解析式的几种形式

(1)一般式：y＝ax2+bx+c (a,b,c为常数,a≠0).

(2)顶点式：y＝a(x-h)2+k(a,h,k为常数,a≠0).

(3)两根式：y＝a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标,即一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根,a≠0.

说明：(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y＝a(x-h)2+k,抛物线的顶点坐标是(h,k),h＝0时,抛物线y＝ax2+k的顶点在y轴上；当k＝0时,抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上；当h＝0且k＝0时,抛物线y＝ax2的顶点在原点

答案补充
如果图像经过原点,并且对称轴是y轴,则设y=ax^2；如果对称轴是y轴,但不过原点,则设y=ax^2+k

定义与定义表达式
一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系：
y=ax^2+bx+c
（a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下.IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.）
则称y为x的二次函数.
二次函数表达式的右边通常为二次三项式.
x是自变量,y是x的函数

二次函数的三种表达式
①一般式：y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
②顶点式[抛物线的顶点 P(h,k) ]：y=a(x-h)^2+k
③交点式[仅限于与x轴有交点 A(x1,0) 和 B(x2,0) 的抛物线]：y=a(x-x1)(x-x2)
以上3种形式可进行如下转化：
①一般式和顶点式的关系
对于二次函数y=ax^2+bx+c,其顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b^2)/4a),即
h=-b/2a=(x1+x2)/2
k=(4ac-b^2)/4a
②一般式和交点式的关系
x1,x2=[-b±√(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)

6.对号函数

定义域：图像：值域：单调区间：奇偶性：

7.兄弟函数

定义域：图像：值域：单调区间：奇偶性：

8.类反比例函数：f（x）＝k/（x＋c）＋b

通过平移就可使问题得到解决
9.绝对值函数

定义域：一切实数

值域：一切非负数

图像：奇偶性：绝对值函数是偶函数,其图形关于y轴对称

单调区间：（-∞,0）递减,（0,+∞）递增

10.指数函数

定义域：图像：值域：单调区间：奇偶性：

11.对数函数

定义域：图像：值域：单调区间：奇偶性：

12.幂函数

定义域：图像：值域：单调区间：奇偶性：