题目

已知抛物线y=x^2+(2k+1)x-k^2+k
设A(x1,0)和B(x2,0)是此抛物线与x轴的两个交点,且满足x1^2+x2^2=-2k^2+2k+1.
（1）求抛物线的解析式
（2）此抛物线上是否存在一点P,使△PAB的面积等于3?若存在,请求出点P的坐标；若不存在,请说明理由.

提问时间：2020-12-14

答案

解
A(x1,0)和B(x2,0)是此抛物线与x轴的两个交点
说明x1 x2是方程x^2+(2k+1)x-k^2+k的两个根
所以x1+x2=-(2k+1),x1*x2=-k^2+k
x1^2+x2^2=（x1+x2）²-2*x1*x2=[-(2k+1)]²-2（-k^2+k）=6k^2+2k+1
又因为 满足x1^2+x2^2=-2k^2+2k+1
所以6k^2+2k+1=-2k^2+2k+1
解得 k=0
于是
（1）抛物线的解析式为
y=x^2+x （把k=0代入y=x^2+(2k+1)x-k^2+k）
（2）假设存在一点P（x,y）
令y=x^2+x=0
解得x1=-1,x2=0
则AB=x2-x1=1
△PAB的面积=AB*|y|/2=1*|y|/2=3
解得 y=±6
当y=6时,代入y=x^2+x,解得x=2或x=-3
当y=-6时,代入y=x^2+x,得方程x^2+x+6=0,方程无实数解
因此P的坐标是（2,6）和（-3,6）