题目

已知sina+sinb=

2

2

，求cosa+cosb的取值范围．

提问时间：2020-12-14

答案

设cosa+cosb=t
sina+sinb=

2

2

，（sina+sinb）²=

1

2

∴sin²a+2sinbsina+sin²b=

1

2

，…①
∵cosa+cosb=t，∴（cosa+cosb）²=t² ，
即cos²a+2cosbcosa+cos²b=t²…②，
①+②可得：2+2（cosacosb+sinasinb）=

1

2

+t²，
即2cos（a-b）=t²-

3

2

，
∴cos（a-b）=

2t2−3

4

，
∵cos（a-b）∈[-1，1]
∴−1≤

2t2−3

4

≤1，
-4≤2t²-3≤4
∴-1≤2t²≤7
解得：0≤t²≤

7

2

即：−

14

2

≤t≤

14

2

．
cosa+cosb的取值范围：[−

14

2

，

14

2

]．

令所求表达式为t，通过平方关系式，利用同角三角函数的基本关系式以及两角和与差的三角函数化简函数的表达式为一个角的一个三角函数的形式，通过三角函数的有界性求出t的范围即可．

本题考点：同角三角函数基本关系的运用．

考点点评：本题考查两角和与差的三角函数，同角三角函数的基本关系式，三角函数的化简求值，考查计算能力．