如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形，PB⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点．（1）求证：MN∥平面PAB；（2）若平面PDA与平面ABCD成60°的二面角，求该四棱锥的体 - 超级试练试题库

题目

如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形，PB⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点．

（1）求证：MN∥平面PAB；
（2）若平面PDA与平面ABCD成60°的二面角，
求该四棱锥的体积．

提问时间：2020-12-13

答案

（1）证明：取PB的中点O，连接ON，OA，
∵O，N分别是PB，PC的中点，
∴ON∥BC，ON=

BC
又AD∥BC，AM=

AD，
∴ON∥AM，ON=AM．
∴四边形MNOA为平行四边形．
∴MN∥AO
而MN⊄平面PAB，AO⊂平面PAB
∴MN∥平面PAB．
（2）∵PB⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，
∴PB⊥AD，
又AB⊥AD，AB∩PB=B，
∴AD⊥面PAB，
∴AD⊥PA．
∴∠PAB为平面PDA与平面ABCD成二面角的平面角，
∴∠PAB=60°，
在RT△PBA中，PB=tan∠PAB•AB=

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