题目

已知椭圆x2/a2+y2/b2=1（a＞b＞0),直线l1：x/a-y/b=1被椭圆C截得弦长为2√2,过椭圆C的右交点且斜率为√3
的直线L2
椭圆C截得弦长是椭圆长轴2/5，求椭圆C的方程。

提问时间：2020-12-13

答案

已知椭圆x2/a2+y2/b2=1（a＞b＞0),直线l1：x/a-y/b=1被椭圆C截得弦长为2√2,过椭圆C的右交点且斜率为√3的直线L2椭圆C截得弦长是椭圆长轴2/5,求椭圆C的方程.
x²/a²+y²/b²=1(1)
x/a-y/b=1(2)
(2)²
x²/a²+y²/b²-2xy/(ab)=1
代入（1）
2xy/(ab)=0
xy=0
所以
x=0,y=-b
y=0,x=a
该直线过椭圆的下端点和右顶点
则a²+b²=8（3）
设直线L2：y=√3(x-c)
代入椭圆方程：整理(3a²+b²)x²-6a²cx+a²(3c²-b²)=0
韦达定理：x1+x2=6a²c/(3a²+b²),x1*x2=a²(3c²-b²)/(3a²+b²)
代入弦长公式：4a/5=√(1+3)[(6a²c/3a²+b²)²-4a²(3c²-b²)/(3a²+b²)]
整理：4b^4/(3a²+b²)²=1/25
2b²/(3a²+b²)=1/5
整理：a²=3b²代入（3）
3b²+b²=8
b²=2
a²=6
椭圆方程：x²/6+y²/2=1