题目

勾股数组中是不是一定有一个偶数,为什么；勾股数组还有别的什么规律

提问时间：2020-12-13

答案

是的.因为设直角三角形三边长为a、b、c,由勾股定理知a^2+b^2=c^2,这是构成直角三角形三边的充分必要条件.因此,要求一组勾股数就是要解不定方程x^2+y^2=z^2,求出正整数解.例：已知在△ABC中,三边长分别是a、b、c,a=n^2-1,b=2n,c=n^2+1(n＞1),求证：∠C=90°.
此例说明了对于大于2的任意偶数2n(n＞1),都可构成一组勾股数,三边分别是：2n、n2-1、n2+1.如：（6、8、10）,（8、15、17）,（10、24、26） 等.再来看下面这些勾股数：（3、4、5）,（5、12、13）,（7、24、25）、（9、40、41）,（11、60、61）…这些勾股数都是以奇数为一边构成的直角三角形.由上例已知任意一个大于2的偶数可以构成一组勾股数,实际上以任意一个大于1的奇数2n+1(n＞1)为边也可以构成勾股数,其三边分别是2n+1、2n平方+2n、2n平方+2n+1,这可以通过勾股定理的逆定理获证.
另外我们还可以通过理论得出推算公式为 a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2.
其他结论：1、直角三角形短直角边为奇数,另一条直角边与斜边是两个连续自然数,则两边之和是短直角边的平方.
2、勾股数a、b、c三数中至少有一个是3的倍数.（可以证明）