题目

过抛物线x=2py的焦点作斜率为1的直线与抛物线交于A,B两点,A,B在轴上的正射影分别为D,C,
过抛物线x=2py的焦点作斜率为1的直线与抛物线交于A,B两点,A,B在轴上的正射影分别为D,C.若梯形ABCD的面积为12根号2,则P为多少?写下计算过程

提问时间：2020-12-13

答案

题目没有表达清楚啊!我估计题目是这样的：
过抛物线x^2=2py的焦点作斜率为1的直线与抛物线交于A,B两点.A、B在x轴上的正射影分别为D、C.若梯形ABCD的面积为12√2.则P为多少?
若是这样,则方法如下：
由抛物线方程x^2＝2py,得抛物线的焦点坐标为（0,p/2）,又AB过焦点,且斜率为1,
∴直线AB的方程为：y＝x＋p/2.
∴可令A、B的坐标分别为（m,m＋p/2）、（n,n＋p/2）.
联立：y＝x＋p/2、x^2＝2py,消去y,得：x^2＝2p（x＋p/2）＝2px＋p^2,
∴x^2－2px－p^2＝0.
显然,m、n是方程x^2－2px－p^2＝0的两根,∴由韦达定理,有：m＋n＝2p、mn＝－p^2.
由A（m,m＋p/2）、B（n,n＋p/2）,得：
｜AD｜＝｜m＋p/2｜、｜BC｜＝｜n＋p/2｜、｜CD｜＝｜m－n｜.
很明显,A、B同在x轴的上方或下方,∴A、B的纵坐标同为正数,或同为负数,
∴｜AD｜＋｜BD｜＝｜m＋p/2＋n＋p/2｜＝｜2p＋p/2＋p/2｜＝3｜p｜.
∴梯形ABCD的面积
＝（1/2）（｜AD｜＋｜BD｜）｜CD｜＝（1/2）×3｜p｜｜m－n｜
＝（3/2）｜p｜√［（m＋n）^2－4mn］＝（3/2）｜p｜√［（2p）^2－4（－p^2）］
＝（3/2）｜p｜×2√2｜p｜＝3√2p^2.
而梯形ABCD的面积＝12√2,∴3√2p^2＝12√2,∴p^2＝4,∴p＝2,或p＝－2.
注：若原题不是我所猜测的那样,则请你补充说明.