题目

设P为△ABC内任一点,直线AP、BP、CP交BC、CA、AB于点D、E、F.求证AD分之PD+BE分之PE+CF分之PF=1

提问时间：2020-12-13

答案

证明：
因为△BDP和△ABD是等高三角形,
所以△BDP和△ABD的面积的比取决于底的比,即
S△BDP/S△ABD=DP/AD,
同理：S△CDP/S△ACD=DP/AD,
所以DP/AD=S△BDP/S△ABD=S△CDP/S△ACD
根据比的性质,得,
DP/AD=(S△BDP+S△CDP)/(S△ACD+S△ABD)=S△BCP/S△ABC,
同理：
PE/BE=S△ACP/S△ABC,
PF/CF=S△ABP/S△ABC,
所以
DP/AD+PE/BE+PF/CF
=S△BCP/S△ABC+S△ACP/S△ABC+S△ABP/S△ABC
=（S△BCP+S△ACP+S△ABP）/S△ABC
=S△ABC/S△ABC
=1