题目

已知A={x∈R|x²+2x+p=0}且A∩{x∈R|x＞0}=∅，求实数p的取值范围．

提问时间：2020-12-13

答案

∵A∩{x∈R|x＞0}=∅，
∴（1）若A=∅，则△=4-4p＜0，得p＞1；
（2）若A≠∅，则A={x|x≤0}，
即方程x²+2x+p=0的根都小于或等于0．
设两根为x₁、x₂，则

△＝4−4p≥0 x1+x2＝−2≤0 x1x2＝p≥0.

∴0≤p≤1．综上所述，p≥0．

A∩{x∈R|x＞0}=∅，表示A为空集或A中的元素均小于等于0，即方程x²+2x+p=0无实根，或是方程x²+2x+p=0的根都小于或等于0．根据韦达定理（根与系数的关系），可以构造不等式组，解不等式组，即可得到答案．

本题考点：交集及其运算．

考点点评：本题中易忽略点是对A=∅的讨论，集合运算和集合关系中，由于空集的特殊性，故一定要考虑∅是否满足要求，如果满足要求，则对∅的分类讨论必不可少；另外方程x²+2x+p=0的根都小于或等于0表示①方程有实根，即△≥0②两根之和大于等于0③两根之积大于等于0．三个条件必须同时满足．