题目

一道数学三角形证明题
若三角形中有一个角等于30度,且这个角所对的边是最长边的一半,那么这个三角形是不是Rt三角形,如果是,给出证明,如果不是请举出反例（要附图）.

提问时间：2020-12-13

答案

证：设△为ABC,BC为最长的边=a,∠B=30°,AC=b=BC/2=a/2,AB=c
因为BC为△ABC最长的边,所以一定可以过A点作AD⊥BC,交BC于D点,且D点一定在BC之间.
在直角△ABD中,AD=AB*sinB=c*sin30°=c/2,BD=c*cos30°=√3*c/2
CD=a-BD=a-√3*c/2
在直角△ACD中,根据勾股定理,得
AC^2=AD^2+CD^2
（a/2）^2=（c/2）^2+（a-√3*c/2）^2
4c^2-4√3*ac+3a^2=0
（2c-√3*a）^2=0
2c-√3*a=0
c=√3*a/2
在△ABC中,AC=a/2,BC=a,AB=√3*a/2
AC^2+AB^2=（a/2）^2+（√3*a/2）^2=a^2=BC^2
即AC^2+AB^2=BC^2
根据勾股定理,可知△ABC为直角△