题目

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足sin

A

2

＝

5

5

，且bc=5．
（Ⅰ）求cos

A

2

的值和△ABC的面积；
（Ⅱ）若b²+c²=26，求a的值．

提问时间：2020-12-13

答案

（本小题共13分）
（Ⅰ）因为sin

A

2

＝

5

5

，且0＜A＜π，
所以0＜

A

2

＜

π

2

，
∴cos

A

2

＝

2 5

5

，（3分）
∴sinA＝2sin

A

2

cos

A

2

＝

4

5

，又bc=5，（6分）
所以S△ABC＝

1

2

bcsinA＝2；（8分）
（Ⅱ）因为sin

A

2

＝

5

5

，所以cosA＝1−2sin2

A

2

＝

3

5

，（10分）
∵bc=5，b²+c²=26，
∴根据余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=26−2×5×

3

5

＝20，（12分）
∴a＝2

5

．（13分）

（Ⅰ）由A的范围，求出

A

2

的范围，再由sin

A

2

的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cos

A

2

的值，进而利用二倍角的正弦函数公式化简sinA，把sin

A

2

和cos

A

2

的值代入即可求出sinA的值，再由bc的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积；
（Ⅱ）由二倍角的余弦函数公式表示出cosA，把sin

A

2

的值代入求出cosA的值，再由bc及b²+c²的值，利用余弦定理列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．

本题考点：余弦定理；同角三角函数基本关系的运用．

考点点评：此题考查了二倍角的正弦、余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，余弦定理，以及三角形的面积公式，解本题的关键是根据题意分别求出sinA和cosA，进而利用三角形面积公式及余弦定理来解决问题．