题目

已知函数f（x）=-x+log底为2的1-x/1+x次幂 求f（-1/2007）+f（-1/2008）+f（1/2007）+f（1/2008）=?
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提问时间：2020-12-12

答案

答案为0
为了书写方便将以2为底的函数换为以10为底的,则原函数换为：
f（x）=-x+lg[(1-x)/(1+x)]/lg2
解法一
由f（x）=-x+lg[(1-x)/(1+x)]/lg2得：
f（-x）=x+lg[(1+x)/(1-x)]/lg2=-[-x+lg[(1-x)/(1+x)]/lg2]=-f（x)
即f（-x）=-f（x)因此函数f（x）为奇函数
所以f（-1/2007）=-f（1/2007）；f（-1/2008）=-f（1/2008）
因此f（-1/2007）+f（-1/2008）+f（1/2007）+f（1/2008）=0
解法二
将原式进一步化简为f（x）=-x+lg[(1-x)/(1+x)]/lg2
=-x+lg（1-x)/lg2-lg（1+x)/lg2
所以f（-1/2007）=1/2007+lg（1+1/2007)/lg2-lg（1-1/2007)/lg2
=1/2007+lg（2008/2007）/lg2-lg（2006/2007）/lg2
f（-1/2008）=1/2008+lg（1+1/2008)/lg2-lg（1-1/2008)/lg2
=1/2008+lg（2009/2008）/lg2-lg（2007/2008）/lg2
f（1/2007）=-1/2007+lg（1-1/2007)/lg2-lg（1+1/2007)/lg2
=-1/2007+lg（2006/2007）/lg2-lg（2008/2007）/lg2
f（1/2008）=-1/2008+lg（1-1/2008)/lg2-lg（1+1/2008)/lg2
=-1/2008+lg（2007/2008）/lg2-lg（2009/2008）/lg2
所以:f（-1/2007）+f（1/2007）=1/2007+lg（2008/2007）/lg2-lg（2006/2007）/lg2-1/2007+lg（2006/2007）/lg2-lg（2008/2007）/lg2=0
f（-1/2008）+f（1/2008）=1/2008+lg（2009/2008）/lg2-lg（2007/2008）/lg21/2008+lg（2007/2008）/lg2-lg（2009/2008）/lg2=0
因此f（-1/2007）+f（-1/2008）+f（1/2007）+f（1/2008）=0