题目

证明题——完全平方数
把所有的完全平方数分成两组（0除外）
求证：其中必有一组中,有两个数的和也是一个完全平方数

提问时间：2020-12-12

答案

证:
考虑到因子3,4,5会在勾股数中多次出现,
所以先考虑能否将形如3^α1*4^α2*5^α3的数的平方分为两组
不难证明如下引理:
(1)
设k=p/q,其中p,q为互素的正整数,若q|k且p^2+q^2为完全平方数,则kp/q一定不能与k在同一组
(2)
两次运用引理(1)可得,
设k1=p1/q1,k2=p2/q2,其中p1,q1,p2,q2为正整数且(p1,q1)=1,(p2,q2)=1,若q1q2|k且p1^2+q1^2与p2^2+q2^2均为完全平方数,则kp1p2/q1q2与k必为同组.
特别地,当k1=k2=p/q时,kp^2/q^2与k为同组
假设存在这样的分组,
现令n=3^α1*4^α2*5^α3,其中α1,α2,α3足够大(即保证能被考虑的所有q整除)
考虑三组勾股数形成的比例3/4,12/5,20/9
它们的平方为9/16,144/25,400/81
所以n*(9/16)*(144/25)*(400/81)=16n与n同组(引理2)
16n*(9/16)=9n与n同组(引理2)
9n*(4/3)*(5/12)=5n与n同组(引理2)
16n*(5/12)*(9/20)=3n与n同组(引理2)
3n*(4/3)=4n与n异组(引理1)
可以看出3n,5n均与n同组,4n与n异组
所以形如3^α1*4^α2*5^α3只有一种可能的分组情况,即按照4的幂次的奇偶性分组
再考虑其他勾股数,注意到8^2+15^2=17^2,所以考虑8/15这两个比例
64n/225与n同组(n含有足够多的因子3和5)
但64n/225和n中因子4的奇偶性相异,矛盾
所以原假设错误,即不存在这样的分组
证毕
这题最重要的是对勾股数的感觉,有不懂的可以Hi我,以后多多交流.