题目

定义:若数列{An}满足An+1=An2,则称数列{An}为 平方递推数列
定义：若数列{An}满足An＋1＝An2,则称数列{An}为“平方递推数列”．已知数列{an}中,a1＝2,且an＋1＝2an2＋2 an,其中n为正整数．
（1）设bn＝2an＋1,证明：数列{bn}是“平方递推数列”,且数列{lgbn}为等比数列；
（2）设（1）中“平方递推数列”{bn}的前n项之积为Tn,
即Tn＝（2a1＋1）（2a2＋1）…（2an＋1）,求数列{an}的通项及Tn关于n的表达式；
（3）记cn＝log2an＋1Tn,求数列{cn}的前n项之和Sn,并求使Sn＞2008的n的最小值．

提问时间：2020-12-11

答案

(1)bn+1=2a(n+1)+1=4an^2+4an+1=(2an+1）^2=bn^2,
lgb(n+1)=2lgbn,lgb(n+1)/lgbn=2,且lgb1=lg(2a1+1)=lg5
故数列{bn}是“平方递推数列”,且数列{lgbn}为等比数列
（2）由（1）得,lgbn=lg5*2^(n-1),bn=5^[2^(n-1)],an=(bn-1)/2={5^[2^(n-1)]-1)}/2
lgTn=lgb1+lgb2+.+lgbn=lg5+lg5*2+.+lg5*2^(n-1)=lg5*(2^n-1)
Tn=5^(2^n-1)
(3)cn=log(bn)Tn=lgTn/lgbn=(2^n-1)/2^(n-1)=2-1/2^(n-1)
Sn=c1+c2+.+cn=2n-[1-(1/2)^n]/(1-1/2)=2n-2+1/2^(n-1)
由Sn＞2008且Sn为增函数,得S1004<2008,S1005>2008,故使Sn＞2008的n的最小值为1005