题目

设m个互异的正偶数与n个互异的正奇数的和为1987,求3m+4n的最大值! 就是这道题 我真的不会
设m个互异的正偶数与n个互异的正奇数的和为1987,求3m+4n的最大值!
就是这道题 我真的不会
求解啊,谢啦

提问时间：2020-12-11

答案

m=27,n=35时,3m+4n最大为221.
容易得出,最小的m个正偶数的和是m(m+1),最小的n个正奇数的和是n^2.
所以,m(m+1)+n^2<=1987,
配方下,(m+0.5)^2+n^2<=1987.25.
柯西不等式,
( 3(m+0.5)+4n )^2<=(3^2+4^2)((m+0.5)^2+n^2)<=25 x 1987.25,
得 3m+4n+1.5 <= 5 x 根号1987.25,化简得 3m+4n <= 221.39.
因为 3m+4n 是整数,所以实际上 3m+4n <= 221.
而且当m=27,n=35时,可以取到 3m+4n=221.
2+4+6+...+48+50+52 +60 =702 + 60=762（共27个互异正偶数）
1+3+5+...+65+67+69=1225（共35个互异正奇数）.
而且,762+1225=1987.
至此,本题终结.
PS：至于为什么选择m=27,n=35,是因为柯西不等式的成立条件,需要满足(m+0.5)/3=n/4,即m/n大约是3/4的样子,然后再代入m(m+1)+n^2<=1987,可以估计出（m,n）的最佳组合接近(27,35).