题目

正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,以D为坐标原点,向量DA,DC,DD1所在的直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系Dxyz,M在AB1上,N在BC1上,且MN⊥AB1,MN⊥BC1,求向量MN的坐标.

提问时间：2020-12-11

答案

设M（1,y1,y1),N(x2,1,1-x2),
A(1,0,0),B(1,1,0),B1(1,1,1),C(0,1,0),C1(0,1,1),
向量MN=（x2-1,1-y1,1-x2-y1),
向量AB1=（0,1,1）,
向量BC1=（-1,0,1）,
向量MN·AB1=1-y1+1-x2-y1=2-2y1-x2=0,
2y1+x2=2,(1)
·向量MN·BC1=-x2+1+1-x2-y1=2-2x2-y1=0
2x2+y1=2,(2),
x2=2/3,y1=2/3,
∴M（1,1/3,1/3）,N（2/3,1,1/3）.