题目
已知f(x)=x^3-ax^2-3x,g(x)=-6x(a属于实数)若h(x)=f(x)-g(x)在x属于(0,+∞)时是增函数,求a的取值范围
提问时间:2020-12-11
答案
∵f(x)=x³-ax²-3x,g(x)=-6x
∴h(x)=x³-ax²+3x
∴h‘(x)=3x²-2ax+3
又∵x属于(0,+∞)时f(x)是增函数,即当x属于(0,+∞)时h‘(x)=3x²-2ax+3大于0
∴只要求h‘(x)=3x²-2ax+3x属于(0,+∞)大于0的解就够了.
h‘(x)是个二次函数,对称轴是X=a/3
❶当a<0时,h’(x)最小是h(0)=0,因为x不能取到0,所以h‘(x)=3x²-2ax+3x属于(0,+∞)大于0
❷当a>0时,h’(x)最小是h(a/3)=-a²/3 +a
所以要有-a²/3 +a>0
解得a属于(0,1/3)
❸当a=0时,h(0)=0,解释如❶,成立
综上所诉,当a属于(-∞,-1/3)符合题意
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∴h(x)=x³-ax²+3x
∴h‘(x)=3x²-2ax+3
又∵x属于(0,+∞)时f(x)是增函数,即当x属于(0,+∞)时h‘(x)=3x²-2ax+3大于0
∴只要求h‘(x)=3x²-2ax+3x属于(0,+∞)大于0的解就够了.
h‘(x)是个二次函数,对称轴是X=a/3
❶当a<0时,h’(x)最小是h(0)=0,因为x不能取到0,所以h‘(x)=3x²-2ax+3x属于(0,+∞)大于0
❷当a>0时,h’(x)最小是h(a/3)=-a²/3 +a
所以要有-a²/3 +a>0
解得a属于(0,1/3)
❸当a=0时,h(0)=0,解释如❶,成立
综上所诉,当a属于(-∞,-1/3)符合题意
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举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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