题目

已知函数f（x）=ax²-e^x（a∈R，e为自然对数的底数），f′（x）是f（x）的导函数．
（1）解关于x的不等式：f（x）＞f′（x）；
（2）若f（x）有两个极值点x₁，x₂，求实数a的取值范围．

提问时间：2020-12-11

答案

（1）f′（x）=2ax-e^x，f（x）-f′（x）=ax（x-2）＞0．
当a=0时，无解；
当a＞0时，解集为{x|x＜0或x＞2}；
当a＜0时，解集为{x|0＜x＜2}．
（2）设g（x）=f′（x）=2ax-e^x，则x₁，x₂是方程g（x）=0的两个根．g′（x）=2a-e^x，
当a≤0时，g′（x）＜0恒成立，g（x）单调递减，方程g（x）=0不可能有两个根；
当a＞0时，由g′（x）=0，得x=ln 2a，
当x∈（-∞，ln2a）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
当x∈（ln2a，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减．
∴当g（x）_max＞0时，方程g（x）=0才有两个根，
∴g（x）_max=g（ln2a）=2aln2a-2a＞0，
得a＞

e

2

．