题目

已知：f(x)f[f(x)+1/x]=1 f(x)在定义域单调 定义域x＞0 求f(1)
法1:设f(1)=a
令x=1时 f(1)f[f(1)+1]=1 即f(a+1)=1/a
令x=a+1时 f（a+1）f[f(a+1) +1/(a+1)]=1 即f[f(a+1) +1/(a+1)]=a=f(1)
又因为 f(x)在定义域单调
所以 f(a+1) +1/(a+1)=1
1/a +1/(a+1)=1
a=（1+根号5）/2 或 a=（1-根号5）/2
这一过程两个a都成立
法2：设x=b时 x=f(x)+1/x 即 f(b)=b-1/b 且 [f(b)]^2=1
联立 得[b-1/b]^2=1
解得b=（1+根号5 ）/2 或 b=（-1+根号5 ）/2
由单调得
f(（-1+根号5 ）/2)=-1 f(（1+根号5 ）/2)=1
又因为(-1+根号5 ）/2

提问时间：2020-12-11

答案

法1考虑不周全,a的取值范围没讨论.如果题里可以把a的范围限制一下,就能舍一个解.而把a限制的方法就是法2.换句话说,把两个方法结合一下就行了.最后的解是a=（1-根号5）/2.